​趣味微积分——从加速度到二阶导数

趣味微积分——从加速度到二阶导数

加速度 就是 速度的变化率，就是速度变化的速度。

名称是加速度，从正负数的角度看，减速就是加速度为负。

古人也深知速度变化的重要性，所以用弓弩给箭加速。

古人也知道速度变化和力关系很大，所以选大力士挽弓，武举考试时，用几石弓 来表示弓拉满需要的力量，这个石应该是标识重量的。

到了17世纪，牛顿才给出来力和加速度的数学关系，牛顿第二定律，对应于清朝康熙年间

抛石机用于给石头加速

如果一个物体的运动方程，就是距离随时间变化的方程，是已知的，

那它的速度方程，就是速度随时间的变化

就可以通过计算 运动方程的导函数来算出来。

也是确定的。

那 这个物体 加速度 随时间变化的方程。

就可以通过对 速度方程，再算一次导数计算出来。

算出来以后，

就可以通过加速度随时间变化的方程，推算出物体的受力情况了。

老式火车

这样对 物体的运动方程，求一次导得到一个函数，再求一次导，又得到一个函数。第一次得到的是 速度方程，第二次得到的是 加速度方程，也就是受力方程，都是非常有现实意义的。

对好多函数，这个过程可以一直进行下去，第一次求导，得到一阶导函数，第二次求导得到二次导函数，再到三阶。。。。一直到n 阶。

匈牙利景色

那这 n 阶导函数 ，有没有实用价值呢？ 还是仅仅是个抽象的观念，是个游戏而已?

有实用价值，而且还很大。

比如 有个匈牙利的 初中数学竞赛题，要求计算 sin 15度角的值。需要复杂的技巧，添加辅助线才能算出来。

如果算sin 14 度 是不是更复杂了?

开普勒 根据天文观察数据 总结出 行星运动的规律。 那行星运动轨迹 里包含 行星 到太阳的距离。当时又没有激光等先进技术，当时是如何得知行星到太阳的距离的?

开普勒总结出行星运动规律

就是根据天文观察，用三角函数计算出来的。

而天文观察的结果，不可能正好是个 好算的度数。

所以如何算 任意角度的三角函数值，并达到高精度，是非常重要的。

而一个函数在一点的 前 n 阶导数值，就可以用来计算出 泰勒级数的系数，把函数展开成泰勒级数，就可以逼近函数值到想要的精度。

这样，计算sin15度的值，15度转化为弧度，就是π/12，代入泰勒级数，就可以算出它的正弦值了。

这是余弦函数的泰勒展开

所以函数的 n 阶导数，不是个游戏，有很大的实用价值。

二阶导数 对 运动方程来说，表示加速度。

在地面上，看到一个山包，感觉是凸起的，看到一个坑，感觉是 凹陷的，这种凸凹的感觉，也可以用微积分来计算和描述。

对于一般的函数来说，在直角坐标系上画出函数的图像，一点的一阶导数表示过这点函数曲线的切线斜率，二阶导数的 正负，可以判断函数图像 在这点的 凸凹性。

古代的科学家也是很有聪明才智的。

2000多年前，欧几里得就写了几何原本。

2000多年前，就知道如何用 三角形 三边 计算面积的 海伦公式，

几何原本中文译本

2000多年前，阿基米德就知道浮力计算公式。

为什么 微积分，以及牛顿力学 到，十七世纪末才发明，就是清朝康熙年间。

主要是因为 在地球上，要比较准确的记录物体的运动轨迹，需要比较准确的计时装置。当时计算装置的精度还不够。古代肯定没有高速摄像机，而天体运动，虽然绝对速度快，比如地球围绕太阳，一年才循环一圈，每天迟观察一分钟，早观察一分钟，一分钟比一年，小于30万分之一，引起的误差并不大，所以记录天体运动的轨迹，对计时装置的要求不高。只有通过观察天体，才能积累到足够的观察数据，用于总结规律。

太阳系示意图

太阳系从数学上来说，运动轨道 的二阶导数才能和物体的受力联系起来，而天体的运动轨道不是直线的，而是椭圆的，需要把受力和运动从x和y两个方向上，做分解才好计算。

牛顿能提出一整套复杂的力学原理，并发明微积分来计算和解释天体的运动轨道，他的想象力和创造力确实是 无与伦比的。

微积分在牛顿以后，将得到巨大的发展，用于计算和解释更广泛的现象，比如电磁现象，量子力学等。